By Robert M. Fossum (auth.)
There are major reasons for the wntmg of this monograph on factorial jewelry and the linked concept of the divisor category staff of a Krull area. One is to gather the fabric which has been released at the topic for the reason that Samuel's treatises from the early 1960's. one other is to give a few of Claborn's paintings on Dedekind domain names. due to the fact i'm really not an historian, I tread on skinny ice whilst discussing those issues, yet a few historic reviews are warranted in introducing this fabric. Krull's paintings on finite discrete primary orders originating within the early 1930's has had an outstanding effect on ring conception within the suc ceeding a long time. Mori, Nagata and others labored at the difficulties Krull steered. however it turns out to me that the idea turns into Most worthy after the idea of the divisor type staff has been made func torial, after which concerning different functorial ideas, for instance, the Picard team. therefore, in treating the crowd of divisors and the divisor category crew, i've got attempted to give an explanation for and make the most the functorial homes of those teams. probably the main impressive instance of the exploitation of this inspiration is visible within the works of I. Danilov which seemed in 1968 and 1970.
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Gilt. Diese Ungleichung ist als Jensen-Ungleichung bekannt. Hinweis: Induktion fiber r. 1st die Funktion f{x) konkav, so gilt die umgekehrte Ungleichung. 14: Induktion und Algorithmen Wir betrachten das folgende Maximierungsproblem. Gegeben sind eine endliche Menge A und eine Abbildung f : A ^ A. Das Ziel ist, eine gro^tmogliche Teilmenge S C A zu fin den, so dass die Einschrankung fs von / auf S eine Bijektion ist, d. h. es muss Folgendes gelt en: 1. f{S) C S, 2. fiir alle y ^ S gibt es genau ein x e S mit f{x) = y.
Dazu ein Beispiel von Bertrand Russel. « Beweis: Aus 1 = 0 folgt 2 = 1. D (^ Die Imphkation A ^ B sagt also nur, dass B wahr sein muss, falls die Aussage A -^ wahr ist. Sie sagt aber nicht, dass B auch tatsdchlich wahr ist! Die Implikation ist eine der wichtigsten logischen Verkniipfungen in der Mathematik: Sie erlaubt logisch konsistente Theorien zu bilden, ohne sich um die (tatsachliche) Richtigkeit der urspriinglichen Aussagen (der sogenannten »Axiome«) zu kiimmern. Findet man eine reelle Situation, in der alle diese Axiome gelt en, so gelt en dann auch alle, vorher daraus abgeleiteten Aussagen!
Wir wollen zeigen, dass \B\< 2*^^) gilt, was aquivalent zu t{B) > log2 \B\ ist. Sei r die Wurzel von B und seien {r,u} und {r,v} die beiden mit r inzidenten Kanten. Wir betrachten die beiden in u und v wurzelnden Teilbaume Bu und By von B. Beide diese Teilbaume haben Tiefe hochstens t — 1 und fiir die Anzahl der Blatter gilt: | 5 ^ | + | 5 ^ | = | 5 | . Nach Induktionsannahme gilt also \Bu\ <2^^^-) und \B,\ <2'^^-\ Wir erhalten damit \B\ = \Bu\ + \B^\ < 2*^^-^ + 2*^^-^ < 2 . 5 D Induktion und Entwurf von Algorithmen Anwendungen der Induktion findet man in alien mathematischen Gebieten, von Mengenlehre bis Geometrie, von Differenzialrechnung bis Zahlentheorie.