Mathematische Grundlagen in Biologie und Geowissenschaften. by Ina Kersten

Show description

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: x2 −9 , x→−3 x+3 a) lim 3x2 +5x−2 . 2 x→−2 4x +9x+2 b) lim √ x−5 , x→25 x − 25 c) lim √ d) lim x→0 e) lim x→0 1+x − 1 . x sin2 (x) . x Hierbei bedeutet sin2 (x) := sin(x) · sin(x). 4. Bestimmen Sie den gr¨oßtm¨oglichen Definitionsbereich der Funktion f : x → 1 + sin2 (x). Dabei ist wieder sin2 (x) := sin(x) · sin(x). Ermitteln Sie, in welchen Punkten f stetig ist. 5. Untersuchen Sie, ob die Funktion f (streng) monoton wachsend oder fallend ist. a) f (x) = x4 , b) c) f (x) = x3 + 2x, √ f (x) = x − 1 f¨ ur x d) f (x) = |x2 − 2x + 1| f¨ ur x 1, 1.

0 Analog folgt aus f (x) < 0 f¨ ur alle x ∈ I, dass f streng monoton f¨allt. Mathematische Grundlagen in Biologie und Geowissenschaften, Universit¨ at G¨ ottingen 2004 56 5 Differentialrechnung 3. Regel von de l’Hospital: Sei I ⊂ R ein Intervall, und sei a ∈ I. F¨ ur differenzierbare Funktionen f, g : I → R gelte f (a) = 0 = g(a) (x) ur alle x ∈ I, x = a. Wenn der Grenzwert lim fg (x) und g (x) = 0 f¨ f (x) x→a g(x) existiert, so existiert auch der Grenzwert lim lim x→a x→a , und es gilt f (x) f (x) = lim .

Gibt es Extremalstellen? Wenn f : ]a, b[ −→ R differenzierbar ist, bestimmt man die Ableitung f und ihre Nullstellen. Falls auch f differenzierbar ist, bestimmt man noch die zweite Ableitung f := (f ) . Es gilt: Ist f (x0 ) = 0 und f (x0 ) > 0, so hat f ein lokales Minimum in x0 . Ist hingegen f (x0 ) = 0 und f (x0 ) < 0, so hat f in x0 ein lokales Maximum. Mathematische Grundlagen in Biologie und Geowissenschaften, Universit¨ at G¨ ottingen 2004 58 5 Differentialrechnung • Gibt es Wendepunkte? Wenn die zweite Ableitung f existiert und differenzierbar ist, bestimmt man die dritte Ableitung f := (f ) .