By D.Guinin, B.Joppin
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K g ( x ) ; fn ( x ) k puis l’ine´galite´ triangulaire donne : x ∈ E, k g(x ) k x ∈ E, la continuite´ de g : g ∈ n et, compte tenu de (1) ; converge dans n ;kjjxf kjj + (3) n c (E, F ). L’ine´galite´ (3) fournit alors jjg ; fn jj ; Ainsi, la suite de Cauchy f n c (E, F ), jj • jj n n k x k, ce qui assure lim jjg ; fn jj = 0. +1 , donc c (E, F ) est complet. E. Espaces vectoriels norme ´s de dimension finie 1. E´quivalence des normes The ´ore `me 17 Sur ☞ n deux normes quelconques sont e´quivalentes.
Ce sont des ouverts disjoints de E , et A ⊂ U, B ⊂ V car : A = f ;1 f0g et B = f ;1 f1g . En tant qu’images re´ciproques d’ouverts disjoints de par une fonction continue. Ex. 3 Soit A ∈ p( ) diagonalisable. Montrer que l’ensemble des matrices semblables a` A est ferme´ dans p( ). Indications Caracte´riser un ferme´ a` l’aide de suites. Utiliser des polynoˆmes annulateurs de A. Solution Commentaires D’apre`s la caracte´risation se´quentielle des ferme´s, il suffit pour faire la preuve, de montrer que, pour toute suite (Mn ) de matrices semblables a` A qui converge dans p ( ), la limite B est semblable a` A.
Or, quel que soit y ∈ E , x = kf k = 0 ) = 0, il est clair que jj Conclusion : j jjj f jj est un majofk f (x) k / x∈Bg et jj f jj est le plus petit rant de majorant de cet ensemble. Alors avec f = 1 jjf jj+jjgjj est un fk f (x)+g(x) k / x∈Bg et jjf +gjj est le plus petit ✎ majorant de f = 0. f jj = f jj j j jj f jj (i ) ✎ (67) ( f ), cette ine´galite´ (i ) donne : jj f jj 1 j j jj f jj c’est-a`-dire jj Enfin (i ) et (ii ) donnent jj f jj = j j jj f jj. Soit f et g dans (68) ∈ B donc f (y) = (1 + k y k)f (x ) = 0.