By Franz Pfuff

Mathematik gehört zu den Grundfächern für jeden Studierenden der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Er benötigt Kenntnisse der research, der Linearen Algebra sowie der Funktion einer und mehrerer Variablen. Das zweibändige Taschenbuch, hervorgegangen aus Vorlesungen des Autors an der Universität Regensburg, stellt den Studienstoff sehr anschaulich dar, unterstützt durch eine Vielzahl von Beispielen und Abbildungen. Insbesondere wird auf die Anwendung verschiedener mathematischer Verfahren, auf konkrete Fragestellungen eingegangen. Das Buch richtet sich an alle Studenten der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften an Unversitäten und Fachhochschulen sowie an den Praktiker, der sein Mathematikwissen auffrischen möchte. Es ist gleichermaßen geeignet als Begleitbuch zu einer Vorlesung und zum Selbststudium. Für das Verständnis sind nur Kenntnisse der Oberstufenmathematik notwendig.

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Bemerkung: Binomialkoeffizienten lassen sich auch allgemein definieren, indem man ftir beliebige reelle Zahlen 0: und natürliche Zahlen k setzt: 0: ) = 0:(0:-1)(0:-2) ' (k 1·2 ·3 · '(o:-k + 1) ·k · Beispiele (1) O! = 1, l! = 1, 2! =2, 3! =6, 4! =24. 2) 2! (6) 6! ) ~ . = 3 1 ~ (- ) . (1'2'3 ~) = ~ 162 ' 15. 2) Satz Für die Zahlen n, kEIN mit k";; n gilt : (a) (n + I)! = (n + I) n! (b) (~)=I , (~)=n (d) (~)=(n~k) (~)+(k~I)=(~:D (e) (k+I)'(k~I)=(n-k) '(~) (c) (f) i (kt)=(n~~;l). ; =0 Mit Hilfe der Binomialkoeffizienten ist es außerdem möglich, einen Ausdruck der Form (a + b)" "auszumultiplizieren", d.

Wir wollen dies stellvertretend für Regel (a) tun : n L i =1 c = c + C + ... + C = nc. n-mal Bei vielen für die Praxis wichtigen Problemen treten doppelt indizierte Summanden aij auf. In diesem Falle kann man eine sogenannte Doppelsumme bilden, indem man über beide Indices summiert. 3) Defmition Gegeben seien die Zahlen al1, . , a mn E IR. Dann bezeichnet man die folgende Summe m i n L= L= aij= 1 j 1 n j L =1 n alj + ... + L amj = ,j = 1 = (al1 + . . + al n) + . . + (am 1 + . + amn) als Doppelsumme.

Ordnung : aa ab ac ad ba bb bc 1>d ca cb cc cd da db dc dd. Dabei kann sowohl das erste , als auch das zweite Element jeder Kombination auf vier Arten gewählt werden, so daß sich 4 ·4 = 4 2 Möglichkeiten ergeben . Will man allgemein aus n Elementen Kombinationen der koten Ordnung bilden, so gibt es für die Besetzungjeder der k Elemente einer Zusammenstellung n Möglichkeiten, insgesamt also n · n . . . n =nk verschiedene Arten. 9) Satz Gegeben seien n verschiedene Elemente. Dann beträgt die Anzahl der Kombinationen k-ter Ordnung mit Berücksichtigung der Anordnung und mit Wiederholungen n k • Beispiel Beim Werfen von vier verschiedenfarbigen Würfeln erhält man die Ergebnisse 1111 1112 1121 1122 1116 1126 usw.

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