By Jacobi C.G.J.
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Bemerkung: Binomialkoeffizienten lassen sich auch allgemein definieren, indem man ftir beliebige reelle Zahlen 0: und natürliche Zahlen k setzt: 0: ) = 0:(0:-1)(0:-2) ' (k 1·2 ·3 · '(o:-k + 1) ·k · Beispiele (1) O! = 1, l! = 1, 2! =2, 3! =6, 4! =24. 2) 2! (6) 6! ) ~ . = 3 1 ~ (- ) . (1'2'3 ~) = ~ 162 ' 15. 2) Satz Für die Zahlen n, kEIN mit k";; n gilt : (a) (n + I)! = (n + I) n! (b) (~)=I , (~)=n (d) (~)=(n~k) (~)+(k~I)=(~:D (e) (k+I)'(k~I)=(n-k) '(~) (c) (f) i (kt)=(n~~;l). ; =0 Mit Hilfe der Binomialkoeffizienten ist es außerdem möglich, einen Ausdruck der Form (a + b)" "auszumultiplizieren", d.
Wir wollen dies stellvertretend für Regel (a) tun : n L i =1 c = c + C + ... + C = nc. n-mal Bei vielen für die Praxis wichtigen Problemen treten doppelt indizierte Summanden aij auf. In diesem Falle kann man eine sogenannte Doppelsumme bilden, indem man über beide Indices summiert. 3) Defmition Gegeben seien die Zahlen al1, . , a mn E IR. Dann bezeichnet man die folgende Summe m i n L= L= aij= 1 j 1 n j L =1 n alj + ... + L amj = ,j = 1 = (al1 + . . + al n) + . . + (am 1 + . + amn) als Doppelsumme.
Ordnung : aa ab ac ad ba bb bc 1>d ca cb cc cd da db dc dd. Dabei kann sowohl das erste , als auch das zweite Element jeder Kombination auf vier Arten gewählt werden, so daß sich 4 ·4 = 4 2 Möglichkeiten ergeben . Will man allgemein aus n Elementen Kombinationen der koten Ordnung bilden, so gibt es für die Besetzungjeder der k Elemente einer Zusammenstellung n Möglichkeiten, insgesamt also n · n . . . n =nk verschiedene Arten. 9) Satz Gegeben seien n verschiedene Elemente. Dann beträgt die Anzahl der Kombinationen k-ter Ordnung mit Berücksichtigung der Anordnung und mit Wiederholungen n k • Beispiel Beim Werfen von vier verschiedenfarbigen Würfeln erhält man die Ergebnisse 1111 1112 1121 1122 1116 1126 usw.