By Stasys Jukna
Studierende, die ein Informatikstudium aufnehmen, brauchen zu Beginn vor allem eines: mathematische Grundkenntnisse. Dieser Crashkurs soll Studierenden im ersten Semester helfen, möglichst rechtzeitig diese Fähigkeiten zu erwerben.
Durch viele motivierende Beispiele, erklärende Bilder und konkrete Darstellungen weckt das Buch Freude an der Mathematik und sichert den erfolgreichen Einstieg.
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Gilt. Diese Ungleichung ist als Jensen-Ungleichung bekannt. Hinweis: Induktion fiber r. 1st die Funktion f{x) konkav, so gilt die umgekehrte Ungleichung. 14: Induktion und Algorithmen Wir betrachten das folgende Maximierungsproblem. Gegeben sind eine endliche Menge A und eine Abbildung f : A ^ A. Das Ziel ist, eine gro^tmogliche Teilmenge S C A zu fin den, so dass die Einschrankung fs von / auf S eine Bijektion ist, d. h. es muss Folgendes gelt en: 1. f{S) C S, 2. fiir alle y ^ S gibt es genau ein x e S mit f{x) = y.
Dazu ein Beispiel von Bertrand Russel. « Beweis: Aus 1 = 0 folgt 2 = 1. D (^ Die Imphkation A ^ B sagt also nur, dass B wahr sein muss, falls die Aussage A -^ wahr ist. Sie sagt aber nicht, dass B auch tatsdchlich wahr ist! Die Implikation ist eine der wichtigsten logischen Verkniipfungen in der Mathematik: Sie erlaubt logisch konsistente Theorien zu bilden, ohne sich um die (tatsachliche) Richtigkeit der urspriinglichen Aussagen (der sogenannten »Axiome«) zu kiimmern. Findet man eine reelle Situation, in der alle diese Axiome gelt en, so gelt en dann auch alle, vorher daraus abgeleiteten Aussagen!
Wir wollen zeigen, dass \B\< 2*^^) gilt, was aquivalent zu t{B) > log2 \B\ ist. Sei r die Wurzel von B und seien {r,u} und {r,v} die beiden mit r inzidenten Kanten. Wir betrachten die beiden in u und v wurzelnden Teilbaume Bu und By von B. Beide diese Teilbaume haben Tiefe hochstens t — 1 und fiir die Anzahl der Blatter gilt: | 5 ^ | + | 5 ^ | = | 5 | . Nach Induktionsannahme gilt also \Bu\ <2^^^-) und \B,\ <2'^^-\ Wir erhalten damit \B\ = \Bu\ + \B^\ < 2*^^-^ + 2*^^-^ < 2 . 5 D Induktion und Entwurf von Algorithmen Anwendungen der Induktion findet man in alien mathematischen Gebieten, von Mengenlehre bis Geometrie, von Differenzialrechnung bis Zahlentheorie.