By Wolfgang Willems
Im heutigen Informationszeitalter werden ständig riesige Mengen digitaler Daten über verschiedene Kanäle übertragen. Codierungstheorie und Kryptographie sind Instrumente, um zentrale Probleme der Datenübertragung wie Übertragungsfehler und Datensicherheit zu lösen. Das Buch führt in die aktuellen Methoden der Codierungstheorie und Kryptographie ein und vermittelt notwendige Grundlagen der Algebra und der Algorithmen. Dabei werden LDPC-Codes und der AKS-Algorithmus ausführlich dargestellt. Der Anhang bietet zahlreiche Übungsaufgaben.
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Man nennt G auch in systematischer Form. Aufgabe 12. Sei C der binäre [7,4,3]-Hamming-Code. a) b) c) d) Geben Sie eine Kontrollmatrix für C an. Geben Sie eine Erzeugermatrix für C an. Bestimmen Sie ein System von Nebenklassenführern und deren Syndrome. Decodieren Sie mittels der Syndrom-Decodierung (1,1,0,0,1,1,0), (1,1,1,0,1,1,0) und (1,1,1,1,1,1,0). Aufgabe 13. Sei C = CM ein [n,k,n − k + 1]-Reed-Solomon-Code zur n-elementigen Menge M = {a1 , . . ,an } ⊆ K. Zeigen Sie: a) Die Matrix G ist eine Erzeugermatrix für C: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ G=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 a1 a21 ..
C1n ⎜ . ⎟ ⎝ .. ⎠ ct1 . . ctn mit Zeilen aus C. Kann C Fehlerbündel bis zur Länge b korrigieren, so sind mit C(t) solche bis zur Länge tb korrigierbar,da diese höchstens b aufeinanderfolgende Einträge in jeder Zeile beeinflussen. Man beachte hier, daß durch das Interleaving nicht die Korrektur von zufälligen Fehlern verbessert wird, da C und C(t) die gleiche Minimaldistanz haben, sondern die Bündellänge der korrigierbaren Fehler. Einen derartigen Nachteil gibt es beim verzögerten Interleaving C(n) nicht.
Die Decodierfehlerwahrscheinlichkeit ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit P (C,t,p) = P (Y ∈ Bt (c ) | X = c). c=c ∈C Diese Wahrscheinlichkeit ist offenbar unabhängig vom gesendeten Codewort c, also P (C,t,p) = P (Y ∈ c=c ∈C Bt (c ) | X = c) = P (Y ∈ 0=c∈C Bt (c) | X = 0). Es gilt nun: BD-Decodierfehlerwahrscheinlichkeit. Sei C ein [n,k,d]-Code über dem Körper K mit |K| = q und der Gewichtsverteilung (A0 , . . Weiterhin sei t ∈ N0 mit t ≤ d−1 2 . Dann ist die Decodierfehlerwahrscheinlichkeit P (C,t,p) gleich j t n i s Ai j=0 s=0 i=1 i−s p q−1 1− p q−1 s n − i j−s p (1 − p)n−i−j+s .