By Josef Trölß
Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.
Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.
Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk ''Angewandte Mathematik mit Mathcad'', richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich komplexer Zahlen, komplexer Funktionen, Vektor- und Matrizenrechnung, Vektoranalysis informieren und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.
Read or Download Angewandte Mathematik mit Mathcad, Lehr- und Arbeitsbuch: Band 2: Komplexe Zahlen und Funktionen, Vektoralgebra und Analytische Geometrie, Matrizenrechnung, Vektoranalysis (v. 2) PDF
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Wendet man ein Potenzgesetz wie im Reellen an, dann ergibt sich nämlich: z= z1 j n = r1 e 1 e jM 1 j90Grad = r1 e n jM 1 jn90Grad e Ist n = 1, so wird der Zeiger z 1 um - 90° gedreht. r ejM = r r r.... M) = rn ejnM (1-58) Beweis des Satzes von Moivre mithilfe der vollständigen Induktion: 1) n = 1; n = 2; n= 3 1 A(1): ( cos ( M ) j sin ( M ) ) = cos ( M ) j sin ( M ) 2 2 2 A(2): ( cos ( M ) j sin ( M ) ) = cos ( M ) j 2 cos ( M ) sin ( M ) j sin ( M ) 2 2 2 = cos ( M ) sin ( M ) j 2 cos ( M ) sin ( M ) = cos ( 2 M ) j ( sin ( 2 M ) ) A(3): sin2 (M) = 1 - cos2 (M) 3 3 2 2 ( cos ( M ) j sin ( M ) ) = cos ( M ) 3 cos ( M ) sin ( M ) j 3 sin ( M ) cos ( M ) j sin ( M ) 3 3 3 = cos ( M ) 3 cos ( M ) 3 cos ( M ) j 3 sin ( M ) 3 sin ( M ) sin ( M ) 3 = 4 cos ( M ) 3 cos ( M ) j 3 sin ( M ) 4 sin ( M ) 3 3 3 = cos(3 M ) j sin (3 M ) 2) Annahme A(n) ist gültig: n A(n): ( cos ( M ) j sin ( M ) ) = cos ( n M ) j sin ( n M ) 3) Muß auch für A(n+1) gültig sein: n 1 n 1 = ( cos ( n M ) j sin ( n M ) ) ( cos ( M ) j sin ( M ) ) A(n+1): ( cos ( M ) j sin ( M ) ) = ( cos ( n M ) j sin ( n M ) ) ( cos ( M ) j sin ( M ) ) = ( cos ( n M ) cos ( M ) sin ( n M ) sin ( M ) ) j ( sin ( n M ) cos ( M ) cos ( n M ) sin ( M ) ) = cos ( n M M ) j sin ( n M M ) = cos [ ( n 1) M ] j sin [ ( n 1) M ] 4) gilt für alle n ² (gilt auch für n und auch für n 4).
2 Seite 40 3 4 Komplexe Zahlen und Funktionen Der Zeiger befindet sich zum Zeitpunkt t 1 = 0 in der Ausgangsposition. Sein Richtungswinkel gegenüber der Bezugsachse (t-Achse) ist der Phasenwinkel (Nullphasenwinkel) M. In der Zeit t2 dreht sich der Zeiger um Z t2 weiter. Sein Richtungswinkel gegenüber der Bezugsachse ist nunmehr Z t2 + M. Der Ordinatenwert der Zeigerspitze entspricht dabei dem augenblicklichen Funktionswert y(t). Bei der Rotation des Zeigers um den Nullpunkt durchläuft daher die Ordinate nacheinander alle Funktionswerte der Sinusschwingung.
Für k = n, n+1, n+2,... und für negative k wiederholen sich die Werte wegen der Periodizität der Kosinusund Sinusfunktion. 15 Gegeben ist folgende komplexe Zahl z1 = (10 ; 60°). Gesucht ist: zk = z1 1 z k = 10 z 0 = 10 z 1 = 10 2 § © § 60 ° k 360 ° · j sin § 60 ° k 360 · · ¨ 2 2 © ¹ © ¹¹ in Polarform ¨ cos ¨ 1 1 2 2 ( cos ( 30 °) j sin ( 30 °) ) = 10 1 3 2 j 10 2 1 2 1 1 2 2 ( cos ( 30 ° 180 °) j sin ( 30 ° 180 °) ) = 10 gesuchte Wurzeln 1 3 2 j 10 2 1 2 gegebene komplexe Zahl z1 10 ( cos ( 60 Grad) j sin ( 60 Grad) ) Seite 31 Komplexe Zahlen und Funktionen Die Wurzel liefert in Mathcad nur den Hauptwert !