By Fritz Ehlotzky
Das Buch bietet eine kompakte Einf?hrung in die wichtigsten mathematischen Methoden, die zum Verst?ndnis der Einf?hrungsvorlesung aus Theoretischer Physik und verwandter theoretischer F?cher ben?tigt werden. Die gro?e Zahl von ?bungsaufgaben als auch die zahlreichen durchgerechneten Anwendungsbeispiele zu Themen aus der Physik sollen dem Leser einen tieferen Einblick und das Verst?ndnis f?r die behandelten mathematischen Methoden und ihre N?tzlichkeit bei der Formulierung physikalischer Problemstellungen und deren L?sung vermitteln als auch zur eigenst?ndigen Behandlung verwandter Problemstellungen anregen. Das Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, welche der Autor ?ber viele Jahre f?r Studierende in den Anfangssemestern abgehalten hat.
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Die beiden Grundregeln lauten: 1. Eine komplexe Zahl z = x + i y ist nur dann gleich Null, wenn x = 0 und y = 0 sind. 2. Die komplexen Zahlen gen¨ ugen den gew¨ ohnlichen Regeln der Algebra mit dem Zusatz i2 = −1. Aus diesen beiden Regeln folgen die Formeln f¨ ur die Addition, Subtraktion und Multiplikation komplexer Zahlen. 1. 4) und z1 · z2 = (x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) . 5) 2. 2 Komplexe Zahlen und elementare Funktionen 51 x2 − iy2 multipliziert. Dies ergibt dann z1 x1 x2 + y1 y2 (x1 + iy1 )(x2 − iy2 ) x2 y1 − x1 y2 = = +i .
4 Differenzial- und Integraloperationen Eine eingehende Diskussion der Tensoranalysis w¨ urde uns hier zu weit f¨ uhren. Sie ist vor allem f¨ ur die allgemeine Relativit¨ atstheorie von Interesse, wie eingangs angef¨ uhrt. Doch die Angabe einfacher Differenzial- und Integraloperationen f¨ ur Kartes’sche Tensoren ist f¨ ur einfache Anwendungen von Nutzen. Wir beginnen mit dem Nachweis, dass der Gradientoperator mit unserer Definition eines Vektors u ¨bereinstimmt. Dazu gehen wir von einer skalaren Funktion Φ(r) aus und betrachten die Komponenten des Gradienten dieser Funktion bei Ausf¨ uhrung einer orthogonalen Transformation, die von den urspr¨ unglichen Koordinaten xi zu den neuen Koordinaten xi f¨ uhrt.
98) C Gelegentlich nennt man ein Linienintegral l¨ angs eines geschlossenen Weges ein Ringintegral. Es ist nun nahe liegend, den eben anhand der Arbeit eines K¨ orpers in einem Kraftfeld gepr¨ agten Begriff des Linienintegrals auch auf andere Vektorfelder A(r, t) zu u ¨ bertragen, wobei diese Felder sowohl vom Ort als auch von der Zeit abh¨ angen k¨ onnen. Damit haben wir alle Vorbereitungen getroffen, um den Stokes’schen Satz der Vektoranalysis herzuleiten. Wir betrachten im Raum eine geschlossene Kurve C, die in ein Vektorfeld A(r, t) eingebettet ist.