By P. Ciarlini, M. G. Cox, E. Filipe, F. Pavese, D. Richter

A set of the revised contributions from the 5th workshop on complicated mathematical and computational instruments in metrology, held in Caparica, Portugal, in could of 2000. contains papers from distinct curiosity teams in metrology software program and knowledge fusion. DLC: Mensuration--Congresses.

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Wendet man ein Potenzgesetz wie im Reellen an, dann ergibt sich nämlich: z= z1 j n = r1 ˜ e 1˜ e j˜M 1 j˜90˜Grad = r1 ˜ e n j˜M 1  j˜n˜90˜Grad ˜e Ist n = 1, so wird der Zeiger z 1 um - 90° gedreht. r ˜ ej˜M = r ˜ r ˜ r.... M) = rn ˜ ej˜n˜M (1-58) Beweis des Satzes von Moivre mithilfe der vollständigen Induktion: 1) n = 1; n = 2; n= 3 1 A(1): ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = cos ( M )  j ˜ sin ( M ) 2 2 2 A(2): ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = cos ( M )  j ˜ 2 ˜ cos ( M ) ˜ sin ( M )  j ˜ sin ( M ) 2 2 2 = cos ( M )  sin ( M )  j ˜ 2 ˜ cos ( M ) ˜ sin ( M ) = cos ( 2 ˜ M )  j ˜ ( sin ( 2 ˜ M ) ) A(3): sin2 (M) = 1 - cos2 (M) 3 3 2 2 ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = cos ( M )  3 ˜ cos ( M ) ˜ sin ( M )  j ˜ 3 ˜ sin ( M ) ˜ cos ( M )  j ˜ sin ( M ) 3 3 3 = cos ( M )  3 ˜ cos ( M )  3 ˜ cos ( M )  j ˜ 3 ˜ sin ( M )  3 ˜ sin ( M )  sin ( M ) 3 = 4 ˜ cos ( M )  3 ˜ cos ( M )  j ˜ 3 ˜ sin ( M )  4 ˜ sin ( M ) 3 3 3 = cos(3 ˜ M )  j ˜ sin (3 ˜ M ) 2) Annahme A(n) ist gültig: n A(n): ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = cos ( n ˜ M )  j ˜ sin ( n ˜ M ) 3) Muß auch für A(n+1) gültig sein: n 1 n 1 = ( cos ( n ˜ M )  j ˜ sin ( n ˜ M ) ) ˜ ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) A(n+1): ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = ( cos ( n ˜ M )  j ˜ sin ( n ˜ M ) ) ˜ ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = ( cos ( n ˜ M ) ˜ cos ( M )  sin ( n ˜ M ) ˜ sin ( M ) )  j ˜ ( sin ( n ˜ M ) ˜ cos ( M )  cos ( n ˜ M ) ˜ sin ( M ) ) = cos ( n ˜ M  M )  j ˜ sin ( n ˜ M  M ) = cos [ ( n  1) ˜ M ]  j ˜ sin [ ( n  1) ˜ M ] 4) gilt für alle n ² (gilt auch für n   und auch für n  4).

2 Seite 40 3 4 Komplexe Zahlen und Funktionen Der Zeiger befindet sich zum Zeitpunkt t 1 = 0 in der Ausgangsposition. Sein Richtungswinkel gegenüber der Bezugsachse (t-Achse) ist der Phasenwinkel (Nullphasenwinkel) M. In der Zeit t2 dreht sich der Zeiger um Z t2 weiter. Sein Richtungswinkel gegenüber der Bezugsachse ist nunmehr Z t2 + M. Der Ordinatenwert der Zeigerspitze entspricht dabei dem augenblicklichen Funktionswert y(t). Bei der Rotation des Zeigers um den Nullpunkt durchläuft daher die Ordinate nacheinander alle Funktionswerte der Sinusschwingung.

Für k = n, n+1, n+2,... und für negative k wiederholen sich die Werte wegen der Periodizität der Kosinusund Sinusfunktion. 15 Gegeben ist folgende komplexe Zahl z1 = (10 ; 60°). Gesucht ist: zk = z1 1 z k = 10 z 0 = 10 z 1 = 10 2 § © § 60 ˜ °  k ˜ 360 ˜ ° ·  j ˜ sin § 60 ˜ °  k ˜ 360 · · ¨ 2 2 © ¹ © ¹¹ in Polarform ˜ ¨ cos ¨ 1 1 2 2 ˜ ( cos ( 30 ˜ °)  j ˜ sin ( 30 ˜ °) ) = 10 1 ˜ 3 2  j ˜ 10 2 ˜ 1 2 1 1 2 2 ˜ ( cos ( 30 ˜ °  180 ˜ °)  j ˜ sin ( 30 ˜ °  180 ˜ °) ) = 10 gesuchte Wurzeln 1 ˜ 3 2  j ˜ 10 2 ˜ 1 2 gegebene komplexe Zahl z1  10 ˜ ( cos ( 60 ˜ Grad)  j ˜ sin ( 60 ˜ Grad) ) Seite 31 Komplexe Zahlen und Funktionen Die Wurzel liefert in Mathcad nur den Hauptwert !

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